Question

18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（a+b，sinA-sinC），向量$\overrightarrow{n}$=（c，sinA-sinB），且$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=3，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 解：（I）由$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，利用数量积运算及其正弦定理、余弦定理即可得出．
（II）由余弦定理3²=a²+c²-ac，再利用基本不等式的性质与三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（I）∵$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，∴c（sinA-sinC）-（a+b）（sinA-sinB）=0，
由正弦定理可得：c（a-c）-（a+b）（a-b）=0，化为a²+c²-b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），∴B=$\frac{π}{3}$．
（II）∵3²=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$≤$\frac{1}{2}×9×sin\frac{π}{3}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，当且仅当a=c=3时取等号．
∴△ABC的面积的最大值为$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、基本不等式的性质与三角形面积计算公式、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．