Question

3．已知数列{a_n}满足：a_n+2=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}+1（n=2k-1，k∈{N}^{*}）}\\{（-1）^{\frac{n}{2}}•n（n=2k，k∈{N}^{*}）}\end{array}\right.$，且a₁=1，a₂=2，S_n为数列{a_n}的前n项和，若S_n≤2046成立的最大n值为（　　）

• A． 17
• B． 18
• C． 19
• D． 20

Answer 1

分析 当n=2k-1时，（k∈N^*），a_2k+1=2a_2k-1+1，化为a_2k+1+1=2（a_2k-1+1），可得数列{a_2k-1+1}是等比数列，得到a_2k-1=2^k-1．当n=2k时，（k∈N^*），a_2k+2=（-1）^k（2k）．当n=2k时，S_n=S_2k=（a₁+a₃+…+a_2k-1）+（a₂+a₄+…+a_2k）．当n=2k-1时，S_n=S_2k-1=（a₁+a₃+…+a_2k-1）+（a₂+a₄+…+a_2k-2）．分别令k=10，可得S₂₀与S₁₉，与2046比较即可得出．

解答 解：当n=2k-1时，（k∈N^*），a_2k+1=2a_2k-1+1，化为a_2k+1+1=2（a_2k-1+1），
∴数列{a_2k-1+1}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴a_2k-1=2^k-1．
当n=2k时，（k∈N^*），a_2k+2=（-1）^k（2k）．
∴当n=2k时，S_n=S_2k=（a₁+a₃+…+a_2k-1）+（a₂+a₄+…+a_2k）
=（2+2²+…+2^k-k）+[2-2×2+2×3-2×4+…+（-1）^k•2k]
=$\frac{2（{2}^{k}-1）}{2-1}$-k+[2-2×2+2×3-2×4+…+（-1）^k•2k]，
令k=10，S₂₀=2（2¹⁰-1）-10-10=2026＜2046．
当n=2k-1时，S_n=S_2k-1=（a₁+a₃+…+a_2k-1）+（a₂+a₄+…+a_2k-2）
=（2+2²+…+2^k-k）+[2-2×2+2×3-2×4+…+（-1）^k-1•2（k-1）]
=$\frac{2（{2}^{k}-1）}{2-1}$-k+[2-2×2+2×3-2×4-…+（-1）^k-1•2（k-1）]，
令k=10，S₁₉=2（2¹⁰-1）-10+10=2046．
∴S_n≤2046成立的最大n值为19．
故选：C．

点评 本题考查了分段数列的性质、等比数列的前n项和公式、递推式的应用，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．