Question

13．设函数f（x）=x³-4x．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并求f（x）的减区间；
（2）设x₁，x₂分别是函数f（x）的最小零点和最大零点，求函数f（x）在区间[x₁，x₂]上的最值．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性的定义判断函数是奇函数，求出函数f（x）的导数，从而得到函数的递减区间；
（2）求出函数的零点，列出表格，从而得到函数的最大值和最小值．

解答 解：（1）f（x）的定义域是R，关于原点对称，
且f（-x）=（-x）³-4（-x）=-（x³-4x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
$f'（x）=3{x^2}-4=3（x+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）（x-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，
令f′（x）＜0，得$-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}＜x＜\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
∴f（x）的减区间为：$（-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}{，^{\;}}\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$．
（2）令f（x）=x³-4x=x（x+2）（x-2）=0，
解得x=0或x=±2，
观察x、f′（x）、f（x）之间关系的表：

x	-2	$（-2{，^{\;}}-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$	$-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$	$（-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}{，^{\;}}\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$	$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$	$（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}{，^{\;}}2）$	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	0	↑	$\frac{{16\sqrt{3}}}{9}$	↓	$-\frac{{16\sqrt{3}}}{9}$	↑	0

由上表可知，当$x=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$时，f（x）取最大值$\frac{{16\sqrt{3}}}{9}$；                     
当$x=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$时，f（x）取最小值$-\frac{{16\sqrt{3}}}{9}$．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查导数的应用，是一道中档题．