Question

1．在△ABC中，已知tan$\frac{A+B}{2}$=sinC，给出以下四个结论①②③④，其中正确的是②④（写出所有正确结论的序号）．
①$\frac{tanA}{tanB}$=2；②1＜sinA+sinB≤$\sqrt{2}$；③sin²A+cos²B=1；④cos²A+cos²B=sin²C．

Answer 1

分析 先利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得cos$\frac{A+B}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，进而求得A+B=90°进而求得①tanA•cotB=tanA•tanA=2等式不一定成立，排除；②利用两角和公式化简，利用正弦函数的性质求得其范围符合，②正确；③sin²A+cos²B=2sin²A不一定等于1，排除③；④利用同角三角函数的基本关系可知cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，进而根据C=90°可知sinC=1，进而可知二者相等．④正确．

解答 解：∵tan$\frac{A+B}{2}$=sinC，
∴$\frac{sin\frac{A+B}{2}}{cos\frac{A+B}{2}}$=2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A+B}{2}$，
整理求得cos（A+B）=0，
∴A+B=90°．
∴$\frac{tanA}{tanB}$=tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于2，①不正确．
∴sinA+sinB=sinA+cosA=$\sqrt{2}$sin（A+45°），
45°＜A+45°＜135°，$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（A+45°）≤1，
∴1＜sinA+sinB≤$\sqrt{2}$，
所以②正确；
cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，
sin²C=sin²90°=1，
所以cos²A+cos²B=sin²C．
所以④正确．
sin²A+cos²B=sin²A+sin²A=2sin²A=1不一定成立，故③不正确．
综上知②④正确
故答案为：②④．

点评 本题主要考查了三角函数的化简求值．考查了学生综合分析问题和推理的能力，考查了运算能力和转化思想，属于中档题．