Question

15．数列{n³}的前n项和为S_n，观察下列式子：S${\;}_{1}={1}^{3}={1}^{2}$，S${\;}_{2}={1}^{3}+{2}^{3}$=（1+2）²，S₃=1³+2³+3³=（1+2+3）²，…，根据以上式子猜想数列{n³}前n项和公式S_n=$\frac{1}{4}{n}^{2}（n+1）^{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，分析题干所给的等式可得：1³+2³=（1+2）²=3²，1³+2³+3³=（1+2+3）²=6²，1³+2³+3³+4³=（1+2+3+4）²=10²，归纳等式两边的变化规律，进而可得答案．

解答 解：根据题意，分析题干所给的等式可得：
1³+2³=（1+2）²=3²，
1³+2³+3³=（1+2+3）²=6²，
1³+2³+3³+4³=（1+2+3+4）²=10²，
…
归纳可得：1³+2³+3³+4³+…+n³=（1+2+3+4+…+n）²=[$\frac{n（n+1）}{2}$]²=$\frac{1}{4}{n}^{2}（n+1）^{2}$，
故答案为：$\frac{1}{4}{n}^{2}（n+1）^{2}$

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．