Question

8．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥BC，E是棱PC的中点，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=CD=2AB=2．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若二面角E-BD-P大于60°，求四棱锥P-ABCD体积的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，再由PA⊥AB，能证明PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出四棱锥P-ABCD体积的取值范围．

解答 证明：（Ⅰ）∵平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥BC，E是棱PC的中点，
∠DAB=90°，AB∥CD，AD=CD=2AB=2．
∴AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，
∴PA⊥AB，∵AB∩BC=B，
∴PA⊥平面ABCD．
解：（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AP=t，则B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，t），
C（2，2，0），E（1，1，$\frac{t}{2}$），
$\overrightarrow{BD}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{BP}$=（-1，0，t），$\overrightarrow{BE}$=（0，1，$\frac{t}{2}$），
设平面BDP的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=-x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-x+tz=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（2，1，$\frac{2}{t}$），
设平面BDE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=-a+2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=b+\frac{t}{2}c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（2，1，-$\frac{2}{t}$），
∵二面角E-BD-P大于60°，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|5-\frac{4}{{t}^{2}}|}{5+\frac{4}{{t}^{2}}}$＜cos60°=$\frac{1}{2}$，
解得$\frac{2\sqrt{15}}{15}＜t＜\frac{2\sqrt{15}}{5}$，
S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}（1+2）×2$=5，
∴四棱锥P-ABCD体积V=$\frac{1}{3}×AP×{S}_{四边形ABCD}$=$\frac{1}{3}×t×5$∈（$\frac{2\sqrt{15}}{9}$，$\frac{2\sqrt{15}}{3}$）．
∴四棱锥P-ABCD体积的取值范围是（$\frac{2\sqrt{15}}{9}$，$\frac{2\sqrt{15}}{3}$）．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的取值范围的求法，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．