Question

17．已知关于x的不等式|ax-2|+a|x-1|≥2（a＞0）．
（1）当a=1时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，关于x的不等式即|x-2|+|x-1|≥2．而由绝对值的意义可得，$\frac{5}{2}$和$\frac{1}{2}$到1和2对应点的距离之和正好等于2，由此可得不等式的解集．
（2）由于|ax-2|+|ax-a|≥|a-2|，不等式的解集为R，等价于|a-2|≥2，由此求得a的范围．再根据a＞0，进一步确定a的范围．

解答 解：（1）当a=1时，关于x的不等式|ax-2|+a|x-1|≥2（a＞0），即|x-2|+|x-1|≥2．
而由绝对值的意义可得|x-2|+|x-1|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，
且$\frac{5}{2}$和$\frac{1}{2}$到1和2对应点的距离之和正好等于2，
故不等式的解集为{x|x≥$\frac{5}{2}$，或x≤$\frac{1}{2}$}．
（2）由于不等式|ax-2|+a|x-1|≥|（ax-2）-（ax-a）|=|a-2|，
不等式|ax-2|+a|x-1|≥2（a＞0）的解集为R，等价于|a-2|≥2，
即 a-2≥2，或 a-2≤-2，解得 a≥4，或 a≤0．
再根据a＞0，可得 a≥4，即a的范围为[4，+∞）．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．