Question

7．如图，抛物线y²=2px（p＞0）和圆x²+y²-px=0，直线l经过抛物线的焦点，依次交抛物线与圆于A，B，C，D四点，|AB|•|CD|=2则p的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点和准线方程，圆的圆心和半径，设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），讨论若直线的斜率不存在，则直线方程为x=$\frac{p}{2}$，求出A，B，C，D的坐标，求得AB，CD的长，解方程可得p；若直线的斜率存在，设为k，则直线方程为y=k（x-$\frac{p}{2}$），代入抛物线的方程，运用韦达定理，结合抛物线的定义和圆的定义，可得p的方程，即可得到所求值．

解答 解：抛物线y²=2px焦点F（$\frac{p}{2}$，0），准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
圆（x-$\frac{p}{2}$）²+y²=$\frac{1}{4}$p²的圆心是（$\frac{p}{2}$，0）半径r=$\frac{p}{2}$，
设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
过抛物线y²=4px的焦点F的直线依次交抛物线及圆（x-$\frac{p}{2}$）²+y²=$\frac{1}{4}$p²于点A，B，C，D，
A，D在抛物线上，B，C在圆上
①．若直线的斜率不存在，则直线方程为x=$\frac{p}{2}$，
代入抛物线方程和圆的方程，
可直接得到ABCD四个点的坐标为（$\frac{p}{2}$，p），（$\frac{p}{2}$，$\frac{p}{2}$），（$\frac{p}{2}$，-$\frac{p}{2}$）（$\frac{p}{2}$，-p），
所以|AB|•|CD|=$\frac{1}{2}$p•$\frac{1}{2}$p=2，
解得p=2$\sqrt{2}$；
②．若直线的斜率存在，设为k，则直线方程为y=k（x-$\frac{p}{2}$），
因为直线过抛物线的焦点（$\frac{p}{2}$，0），
不妨设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由抛物线的定义，|AF|=x₁+$\frac{p}{2}$，|DF|=x₂+$\frac{p}{2}$，
把直线方程与抛物线方程联立，消去y可得
k²x²-（pk²+2p）x+$\frac{1}{4}$p²k²=0，
由韦达定理有x₁x₂=$\frac{1}{4}$p²，
而抛物线的焦点F同时是已知圆的圆心，
所以|BF|=|CF|=r=$\frac{1}{2}$p，
从而有|AB|=|AF|-|BF|=x₁，
|CD|=|DF|-|CF|=x₂，
由|AB|•|CD|=2，即有x₁x₂=2，
由$\frac{1}{4}$p²=2，解得p=2$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，属于中档题．