Question

19．已知函数f（x）=sinωx-cosωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求函数y=f（x）图象的对称轴方程；
（2）讨论函数f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的单调性．

Answer 1

分析 （1）利用辅助角公式化简函数的解析式，根据正弦函数的周期性求得ω，可得其解析式，利用正弦函数的图象的对称求得函数y=f（x）图象的对称轴方程．
（2）利用正弦函数的单调性求得函数f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的单调性．

解答 解：（1）∵$f（x）=sinωx-cosωx=\sqrt{2}sin（ωx-\frac{π}{4}）$，且T=π，∴ω=2．
于是$f（x）=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$，令$2x-\frac{π}{4}=kπ+\frac{π}{2}$，得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{3π}{8}（k∈Z）$，
即函数f（x）的对称轴方程为$x=\frac{kπ}{2}+\frac{3π}{8}（k∈Z）$．
（2）令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$，得函数f（x）的单调增区间为$[kπ-\frac{π}{8}，kπ+\frac{3π}{8}]（k∈Z）$．
注意到$x∈[0，\frac{π}{2}]$，令k=0，
得函数f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的单调增区间为$[0，\frac{3π}{8}]$；
同理，求得其单调减区间为$[\frac{3π}{8}，\frac{π}{2}]$．

点评 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的周期性、单调性、以及它的图象的对称性，属于基础题．