Question

9．设等差数列{a_n}的公差d＞0，前n项和为S_n，已知3$\sqrt{5}$是-a₂与a₉的等比中项，S₁₀=-20．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}|{a}_{n+1}|}$，求数列{b_n}的前n项和T_n（n≥6）．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式与性质、等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）分类讨论，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵3$\sqrt{5}$是-a₂与a₉的等比中项，∴$（3\sqrt{5}）^{2}$=-a₂•a₉，又S₁₀=-20．
∴-（a₁+d）（a₁+8d）=45，10a₁+$\frac{10×9}{2}$d=-20，
联立解得a₁=-11，d=2．
∴a_n=-11+2（n-1）=2n-13．
（2）1≤n≤5时，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}|{a}_{n+1}|}$=$\frac{1}{（2n-13）（11-2n）}$=-$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-13}-\frac{1}{2n-11}）$．
n≥6，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}|{a}_{n+1}|}$=$\frac{1}{（2n-13）（2n-11）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-13}-\frac{1}{2n-11}）$，
∴n≥6时，数列{b_n}的前n项和T_n=-$\frac{1}{2}$$（-\frac{1}{11}+1）$+$\frac{1}{2}$$（-1-\frac{1}{2n-11}）$
=$-\frac{21}{22}$-$\frac{1}{4n-22}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．