Question

1．已知空间四边形ABCD，满足|$\overrightarrow{AB}$|=3，|$\overrightarrow{BC}$|=7，|$\overrightarrow{CD}$|=11，|$\overrightarrow{DA}$|=9，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$的值（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． $\frac{21}{2}$
• D． $\frac{33}{2}$

Answer 1

分析 可画出图形，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$代入$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}$，同样方法，代入$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$，进一步化简即可求出$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$的值．

解答 解：如图，

$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}•（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）$
=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}$
=$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}）•\overrightarrow{AB}-（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}）•\overrightarrow{AD}$
=${\overrightarrow{AB}}^{2}+\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AB}-{\overrightarrow{AD}}^{2}-\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{AD}$
=${\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}）^{2}-\frac{1}{2}（{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{BC}}^{2}）$$-{\overrightarrow{AD}}^{2}-\frac{1}{2}（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}）^{2}+\frac{1}{2}（{\overrightarrow{AD}}^{2}+{\overrightarrow{DC}}^{2}）$
=${\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}-\frac{1}{2}（{\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{BC}}^{2}）$$-{\overrightarrow{AD}}^{2}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}+\frac{1}{2}（{\overrightarrow{AD}}^{2}+{\overrightarrow{DC}}^{2}）$
=$\frac{1}{2}（{\overrightarrow{AB}}^{2}-{\overrightarrow{BC}}^{2}-{\overrightarrow{AD}}^{2}+{\overrightarrow{DC}}^{2}）$
=$\frac{1}{2}×（9-49-81+121）$
=0．
故选B．

点评 考查向量加法和减法的几何意义，向量的数量积的运算．