Question

5．设实数x，y满足不等式$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1≥0}\\{x-2y+2≥0}\\{2x-y-2≤0}\end{array}\right.$，目标函数z=ax+y的最大值不大于3a，则实数a的取值范围为a≥2．

Answer 1

分析 画出满足不等式$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1≥0}\\{x-2y+2≥0}\\{2x-y-2≤0}\end{array}\right.$的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，进一步分目标函数z=ax+y的最大值为3a，构造一个关于a的不等式，解不等式即可求出a的范围．

解答 解：满足不等式$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1≥0}\\{x-2y+2≥0}\\{2x-y-2≤0}\end{array}\right.$的平面区域，如下图所示：
由图可知，求出三条边界直线的交点分别为：
B（0，1），A（2，2），C（1，0）．
由目标函数z=ax+y的最大值不大于3a，
将这三点分别代入z=ax+y，
组成不等式组1≤3a，2a+2≤3a，a≤3a．
解得a≥2．
故答案为：a≥2．

点评 在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．