Question

17．化简：
（1）lg8000+lg125-10^lg4；
（2）（log₃2+log₉2）•（log₄3+log₈3）
（3）$\sqrt{2}$×$\root{4}{2}$×$\root{8}{2}$×…×$\root{{2}^{n}}{2}$…（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）（2）根据对数的运算性质计算即可，
（3）根据等比数列的前n项和公式和指数幂的运算性质计算即可．

解答 解：（1）原式=lg（8000×125）-4=6-4=2，
（2）原式=（$\frac{lg2}{lg3}$+$\frac{lg2}{2lg3}$）（$\frac{lg3}{2lg2}$+$\frac{lg3}{3lg2}$）=$\frac{5}{4}$，
（3）∵$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴原式=2${\;}^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+…+\frac{1}{{2}^{n}}}$=2${\;}^{1-\frac{1}{{2}^{n}}}$．

点评 本题考查了对数的运算性质和等比数列的前n项和公式以及指数幂的运算性质．