Question

9．已知正数a，b满足a+b=4，则曲线f（x）=lnx+$\frac{x}{b}$在点（a，f（a））处的切线的倾斜角的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{π}{4}$，+∞）
• B． [$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$）
• C． [$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）
• D． [$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 求导数，确定切线斜率的范围，即可求出切线的倾斜角的取值范围．

解答 解：∵f（x）=lnx+$\frac{x}{b}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{b}$，
∴f′（a）=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+b）=$\frac{1}{4}$（2+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）≥$\frac{1}{4}$（2+2）=1，
当且仅当a=b=2时取等号，∴曲线f（x）=lnx+$\frac{x}{b}$在点（a，f（a））处的切线的倾斜角的取值范围为[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），
故选C．

点评 本题考查导数的几何意义，考查切线的倾斜角的取值范围，正确求导是关键．