Question

14．在△ABC中，D、E是BC边上两点，BD、BA、BC构成以2为公比的等比数列，BD=6，∠AEB=2∠BAD，AE=9，则三角形ADE的面积为（　　）

• A． 31.2
• B． 32.4
• C． 33.6
• D． 34.8

Answer 1

分析 由已知及等比数列的性质可得：BD=6，AB=12，AE=9，设∠BAD=α，则∠AEB=2α，在△ABE中，由正弦定理可得：sinB=$\frac{3}{4}$sin2α，在△ABD中，由正弦定理可得AD=$\frac{6sinB}{sinα}$=9cosα，进而利用余弦定理可cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式计算可得sinα，sin2α，cos2α，可求AD=$\frac{18\sqrt{5}}{5}$，则在△ADE中，由余弦定理可得DE的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：由题意可得：BD=6，AB=12，AE=9，设∠BAD=α，则∠AEB=2α，
∵在△ABE中，由正弦定理可得：$\frac{9}{sinB}=\frac{12}{sin2α}$，可得：sinB=$\frac{3}{4}$sin2α，
在△ABD中，由正弦定理可得：$\frac{AD}{sinB}=\frac{6}{sinα}$，可得：AD=$\frac{6sinB}{sinα}$=9cosα，
∴由余弦定理可得：6²=12²+（9cosα）²-2×12×（9cosα）×cosα，
整理可得：cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sin2α=$\frac{4}{5}$，cos2α=$\frac{3}{5}$，AD=$\frac{18\sqrt{5}}{5}$，
则在△ADE中，由余弦定理可得：（$\frac{18\sqrt{5}}{5}$）²=DE²+9²-2×9×DE×$\frac{3}{5}$，整理可得：5DE²-54DE+81=0，
∴解得：DE=9，或1.8（舍去），
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$AE•DE•sin2α=$\frac{1}{2}$×9×9×$\frac{4}{5}$=32.4．
故选：B．

点评 本题主要考查了等比数列的性质，正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．