Question

4．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．
（1）求出圆C的直角坐标方程；
（2）已知圆C与x轴相交于A，B两点，直线l：y=2x关于点M（0，m）（m≠0）对称的直线为l'．若直线l'上存在点P使得∠APB=90°，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （1）由ρ=4cosθ得ρ²=4ρcosθ，即可求出圆C的直角坐标方程；
（2）l：y=2x关于点M（0，m）的对称直线l'的方程为y=2x+2m，而AB为圆C的直径，故直线l'上存在点P使得∠APB=90°的充要条件是直线l'与圆C有公共点，即可求实数m的最大值．

解答 解：（1）由ρ=4cosθ得ρ²=4ρcosθ，即x²+y²-4x=0，即圆C的标准方程为（x-2）²+y²=4．
（2）l：y=2x关于点M（0，m）的对称直线l'的方程为y=2x+2m，而AB为圆C的直径，故直线l'上存在点P使得∠APB=90°的充要条件是直线l'与圆C有公共点，故$\frac{{|{4+2m}|}}{{\sqrt{5}}}≤2$，于是，实数m的最大值为$\sqrt{5}-2$．

点评 本题考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查直线与圆的位置关系的运用，考查学生转化问题的能力，属于中档题．