Question

7．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）线段AB上是否存在点M，使AB⊥平面PCM？并给出证明．
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用当M是AB的中点时，AB⊥平面PCM，证明AB⊥PM，AB⊥CM，即可证明．
（Ⅱ）过点M作MN⊥PC交PC于点N，点M与B到平面PMC的距离相等，即可求直线PB与平面PCD的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）当M是AB的中点时，AB⊥平面PCM…（1分）
∵AP=PB，∴AB⊥PM
又△ACB中，AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是正三角形，∴AB⊥CM
又 PM∩CM=M，∴AB⊥平面PCM…（4分）
（Ⅱ） 过点M作MN⊥PC交PC于点N，
由AB⊥平面PCM，AB∥CD得，CD⊥平面PCM
又CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PCM
又MN?平面PCD，∴MN⊥平面PCD…（6分）
由已知可得$MP=1，MC=\sqrt{3}$，在Rt△PCM中，由面积公式得PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…（8分）
又AB∥CD，AB?平面PCM，∴AB∥平面PCM
即点M与B到平面PMC的距离相等，即为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（10分）
又PB=3，∴PB与平面PCD所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，…（12分）

点评 本题考查线面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定定理是关键．