Question

3．已知抛物线y²=20x的焦点F恰好为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点，且点F到双曲线的渐近线的距离是4，则双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{41}$$-\frac{{y}^{2}}{16}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{21}$$-\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{3}$$-\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{9}$$-\frac{{y}^{2}}{16}$=1

Answer 1

分析 确定抛物线y²=20x的焦点坐标、双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程，利用抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，求出b，a，即可求出双曲线的方程．

解答 解：抛物线y²=20x的焦点坐标为（5，0），双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为bx+ay=0，
∵抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，
∴$\frac{5b}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=4，即b=4，
∵c=5，∴a=3，
∴双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}$$-\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，抛物线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．