Question

8．在△ABC中，∠B=$\frac{π}{6}$，AC=1，点D在边AB上，且DA=DC，BD=1，则∠DCA=$\frac{π}{3}$或$\frac{π}{9}$．

Answer 1

分析 设∠A=∠ACD=θ，0$＜θ＜\frac{π}{2}$，则∠ADC=π-2θ，由正弦定理可得CD=$\frac{1}{2cosθ}$，在△BDC中由正弦定理，化简可求sin（$\frac{π}{2}$-θ）=sin（$\frac{5π}{6}$-2θ），结合角的范围，利用正弦函数的性质可求$\frac{π}{2}$-θ=$\frac{5π}{6}$-2θ，或$\frac{π}{2}$-θ+$\frac{5π}{6}$-2θ=π，进而得解θ的值．

解答 （本题满分为10分）
解：设∠A=∠ACD=θ，0$＜θ＜\frac{π}{2}$，则∠ADC=π-2θ，
又AC=1，由正弦定理得：$\frac{AC}{sin2θ}=\frac{CD}{sinθ}$，可得：CD=$\frac{1}{2cosθ}$，
在△BDC中由正弦定理得：$\frac{CD}{sin∠B}=\frac{BD}{sin∠BCD}$，可得：$\frac{\frac{1}{2cosθ}}{sin\frac{π}{6}}=\frac{1}{sin（\frac{5π}{6}-2θ）}$，可得：cosθ=sin（$\frac{5π}{6}$-2θ），
可得：sin（$\frac{π}{2}$-θ）=sin（$\frac{5π}{6}$-2θ），
由0$＜θ＜\frac{π}{2}$，可得：0＜$\frac{π}{2}$-θ＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$-2θ＜$\frac{5π}{6}$，
得$\frac{π}{2}$-θ=$\frac{5π}{6}$-2θ，或$\frac{π}{2}$-θ+$\frac{5π}{6}$-2θ=π，
解得：θ=$\frac{π}{3}$或$\frac{π}{9}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$或$\frac{π}{9}$．
[注：该题若考生漏掉一解扣（2分）]

点评 本题主要考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．