Question

2．已知等差数列{a_n}中，S_n为其前n项和，S₄=π（其中π为圆周率），a₄=2a₂，现从此数列的前30项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率为（　　）

• A． $\frac{7}{15}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{8}{15}$
• D． $\frac{7}{30}$

Answer 1

分析 由等差数列{a_n}前n项和玖通项公式，列出方程组，求出首项和公差，从而得到${a}_{n}=\frac{π}{10}+（n-1）×\frac{π}{10}$=$\frac{nπ}{10}$，进而前30项中，第6至14项和第26项至第30项的余弦值是负数，由此能求出现从此数列的前30项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率．

解答 解：∵等差数列{a_n}中，S_n为其前n项和，S₄=π（其中π为圆周率），a₄=2a₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{4}=4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d=π}\\{{a}_{1}+3d=2（{a}_{1}+d）}\end{array}\right.$，
解得${a}_{1}=d=\frac{π}{10}$，
∴${a}_{n}=\frac{π}{10}+（n-1）×\frac{π}{10}$=$\frac{nπ}{10}$，
∴前30项中，第6至14项和第26项至第30项的余弦值是负数，
∴现从此数列的前30项中随机选取一个元素，
则该元素的余弦值为负数的概率为p=$\frac{14}{30}$=$\frac{7}{15}$．
故选：A．

点评 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．