Question

7．已知函数f（x）=x³+bx²+cx-1在x=-2时取得极值，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率为-3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）在x=-2处有极值，且在x=-1处切线斜率为-3，列出方程组；
（2）利用导数求出函数的单调区间，即可求出函数的最大值与最小值；

解答 解：（1）f'（x）=3x²+2bx+c
依题意得$\left\{\begin{array}{l}{f′（-2）=12-4b+c=0}\\{f′（-1）=3-2b+c=-3}\end{array}\right.$  解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=x³+3x²-1．
（2）由（1）知f'（x）=3x²+6x．令f'（x）=0，
解得x₁=-2，x₂=0
列表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，2）	2
f'（x）		-		+
f（x）	1	减函数	-1	增函数	19

从上表可知，f（x）在区间[-1，2]上的最大值是19，最小值是-1．

点评 本题主要考查了利用导数求函数的单调性，切线斜率以及函数的最值问题，属中档题．