Question

18．已知A，B分别为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）在x轴正半轴，y轴正半轴上的顶点，原点O到直线AB的距离为$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$，且|AB|=$\sqrt{7}$．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）直线l：y=kx+m（-1≤k≤2）与圆x²+y²=2相切，并与椭圆C交于M，N两点，若|MN|=$\frac{{12\sqrt{2}}}{7}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由原点O到直线AB的距离为$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$，且|AB|=$\sqrt{7}$．列出方程组，求出a，b，c，由此能求出椭圆C的离心率．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消去y，得（3k²+4）x²+6kmx+3m²-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线与圆相切、弦长公式，结合已知条件，能求出k的值．

解答 解：（1）∵A，B分别为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）在x轴正半轴，y轴正半轴上的顶点，
原点O到直线AB的距离为$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$，且|AB|=$\sqrt{7}$．
∴|AB|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=7$，$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{2\sqrt{21}}{7}$，a＞b＞0，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1，
∴椭圆C的离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消去y，得：
（3k²+4）x²+6kmx+3m²-12=0，
∴△=36k²m²-4（3k²+4）（3m²-12）＞0，
即3k²-m²+4＞0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{64km}{3{k}^{2}+4}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-12}{3{k}^{2}+4}$，
又直线l与圆x²+y²=2相切，
∴$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，即m²=2（k²+1），
∵|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{48（3{k}^{2}-{m}^{2}+4）}}{3{k}^{2}+4}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{48（{k}^{2}+2）}}{3{k}^{2}+4}$
=$\frac{4\sqrt{3}•\sqrt{{k}^{4}+3{k}^{2}+2}}{3{k}^{2}+4}$，
又|MN|=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，
∴$\frac{4\sqrt{3}•\sqrt{{k}^{2}+3{k}^{2}+2}}{3{k}^{2}+4}$=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，
5k⁴-3k²-2=0，
解得k=±1．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，考查直线的低利率求法，考查等价转化思想，考查推理论证能力，考查直线、椭圆、圆的性质，是中档题．