Question

8．已知e为自然对数的底数，若对任意的x₁∈[1，e]，总存在唯一的x₂∈[-1，1]，使得a-lnx₁=x₂²e^x₂成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [1，e]
• B． [1+$\frac{1}{e}$，e]
• C． （1，e]
• D． （1+$\frac{1}{e}$，e]

Answer 1

分析 由对数函数的单调性求得f（x）的取值范围，求导，利用函数的单调性求得g（x）的值域，由题意可知：[a-1，a]⊆（$\frac{1}{e}$，e]，即可求得a的取值范围．

解答 解：设f（x）=a-lnx，x∈[1，e]单调递减，
∴f（x）_max=a，f（x）_min=a-1，
∴f（x）∈[a-1，a]，
设g（x）=x²e^x，
∵对任意的x₁∈[1，e]，总存在唯一的x₂∈[-1，1]，使得a-lnx₁=x₂²e^x₂成立，
∴[a-1，a]是g（x）的不含极值点的单值区间的子集，
∵g′（x）=x（2+x）e^x，∴x∈[-1，0）时，g′（x）＜0，g（x）=x²e^x是减函数，
当x∈（0，1]，g′（x）＞0，g（x）=x²e^x是增函数，
∵g（-1）=$\frac{1}{e}$＜e=g（1），
∴[a-1，a]⊆（$\frac{1}{e}$，e]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1＞\frac{1}{e}}\\{a≤e}\end{array}\right.$，解得：$\frac{1}{e}$+1＜a＜e．
故选D．

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用到求函数单调性及值域，考查集合之间的关系，考查计算能力，属于中档题．