Question

19．今年冬天流感盛行，据医务室统计，北校近30天每天因病请假人数依次构成数列{a_n}，已知a₁=1，a₂=2，且a_n+2-a_n=1+（-1）ⁿ　（n∈N^*），则这30天因病请假的人数共有255人．

Answer 1

分析 依题意，可求得a₂₉=a₂₇=…=a₃=a₁=1与a₆=6，a₈=8，…，a₃₀=30，再利用分组求和法即可求得这30天因病请假的总人数．

解答 解：∵a₁=1，a₂=2，且a_n+2-a_n=1+（-1）ⁿ　（n∈N^*），
∴a₃-a₁=1+（-1）¹=0，
∴a₃=a₁=1，
∴a₄-a₂=1+（-1）²=2，解得a₄=a₂+2=4；
同理可得，a₂₉=a₂₇=…=a₃=a₁=1；
a₆=6，a₈=8，…，a₃₀=30，
显然，a₂、a₄、…、a₃₀构成以2为首项，2为公差的等差数列，共15项，
∴这30天因病请假的人数共有：
S₃₀=（a₁+a₃+…+a₂₉）+（a₂+a₄+…+a₃₀）=15+$\frac{（2+30）×15}{2}$=255，
故答案为：255．

点评 本题考查数列递推式的应用，求得a₂₉=a₂₇=…=a₃=a₁=1与a₆=6，a₈=8，…，a₃₀=30是关键，考查分组求和法的运用，属于中档题．