Question

15．设函数f（x）=（x+2）e^x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当x≥0时，恒有$\frac{f（x）-{e}^{x}}{ax+1}$≥1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定a的具体范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=（x+3）e^x，
令f′（x）＞0，解得：x＞-3，令f′（x）＜0，解得：x＜-3，
故函数f（x）在（-∞，-3）递减，在（-3，+∞）递增；
（2）a＜0时，若x＞-$\frac{1}{a}$，则$\frac{x+1}{ax+1}$e^x＜0，${\frac{x+1}{ax+1}e}^{x}≥1$不成立，
当a≥0时，记g（x）=（x+1）e^x-ax-1，则$\frac{x+1}{ax+1}$e^x≥1当且仅当g（x）≥0，
g′（x）=（x+2）e^x-a，
当x≥0时，（x+2）e^x≥2，当0≤a≤2时，g′（x）≥0，
故g（x）在[0，+∞）递增，故g（x）≥g（0）=0，
a＞2时，由（1）知g′（x）在[0，+∞）递增，且g′（0）=2-a＜0，
g′（a-2）=a（e^a-2-1）＞0，于是，g′（x）=0在[0，+∞）上有且只有1个实根，
不妨设该实根为x₀，当0＜x＜x₀时，g′（x）＜0，从而g（x）在（0，x₀）递减，
故x∈（0，x₀）时，g（x）＜g（0）=0，不合题意，
综上，实数a的范围是[0，2]．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．