Question

10．已知向量 $\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（cosβ，sinβ），|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=1．
（1）求cos（α-β）的值；　
（2）若$-\frac{π}{2}＜β＜0＜α＜\frac{π}{2}$，且$sinβ=-\frac{1}{7}$，求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）根据求向量的模的方法，同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式，求得cos（α-β）的值．
（2）利用同角三角函数的基本关系求得cosβ、sin（α-β）的值，再利用两角和差的三角公式求得sinα=sin[（α-β）+β]的值．

解答 解：（1）∵向量 $\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（cosβ，sinβ），|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（cosα-cosβ，sinα-sinβ），
∴（cosα-cosβ）²+（sinα-sinβ）²=2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2-2cos（α-β）=1，
∴cos（α-β）=$\frac{1}{2}$．
（2）若$-\frac{π}{2}＜β＜0＜α＜\frac{π}{2}$，且$sinβ=-\frac{1}{7}$，∴cosβ=$\sqrt{{1-sin}^{2}β}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．
∵cos（α-β）=$\frac{1}{2}$，∴sin（α-β）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{4\sqrt{3}}{7}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{7}$=$\frac{13}{14}$．

点评 本题主要考查求向量的模的方法，同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于基础题．