Question

15．已知cos（α+β）=$\frac{4}{5}$，cos（α-β）=-$\frac{4}{5}$，且α+β∈（$\frac{7π}{4}$，2π），α-β∈（$\frac{3π}{4}$，π），求cos2α和cos2β的值．

Answer 1

分析 由已知求出sin（α+β）、sin（α-β）的值，再由拆角配角思想结合两角和与差的余弦求解．

解答 解：∵cos（α+β）=$\frac{4}{5}$，α+β∈（$\frac{7π}{4}$，2π），∴sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$．
∵cos（α-β）=-$\frac{4}{5}$，α-β∈（$\frac{3π}{4}$，π），∴sin（α-β）=$\frac{3}{5}$．
∴cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）=$\frac{4}{5}×（-\frac{4}{5}）-（-\frac{3}{5}）×\frac{3}{5}$=$-\frac{7}{25}$；
cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）=$\frac{4}{5}×（-\frac{4}{5}）+（-\frac{3}{5}）×\frac{3}{5}=-1$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查两角和与差的余弦，是基础题．