Question

5．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy，若将曲线C向左平移1个单位长度后就得到了曲线C₁，再将曲线C₁上每一点的横坐标伸长为原来的$\sqrt{3}$倍，纵坐标保持不变就得到了曲线C₂，已知直线l：x-y-6=0．
（1）求曲线C₁上的点到直线l的距离的最大值；
（2）过点M（-1，0）且与直线l平行的直线l₁交C₂于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积．

Answer 1

分析 （1）化极坐标方程为 普通方程，利用点到直线的距离公式求出曲线C₁上的点到直线l的距离的最大值；
（2）求出曲线C₂的直角坐标方程，直线的参数方程，代入x²+3y²=3化简得：$2{t^2}-\sqrt{2}t-2=0$，利用参数的几何意义，求解点M到A，B两点的距离之积．

解答 解：（1）曲线C的直角坐标方程为（x-1）²+y²=1，
曲线C₁的直角坐标方程为x²+y²=1，则曲线C₁上的点到直线l的距离的最大值${d_{max}}=3\sqrt{2}+1$．---------（3分）
（2）设曲线C₂上任意一点的坐标为（x′，y′），曲线C₁上任意一点的坐标为（x，y），
由题意可得伸缩变换为$\left\{\begin{array}{l}{x^'}=\sqrt{3}x\\{y^'}=y\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}{x^'}\\ y={y^'}\end{array}\right.$，
代入曲线C₁的直角坐标方程为x²+y²=1，可得曲线C₂的直角坐标方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，
即x²+3y²=3，----------------（6分）
直线l₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t.\end{array}\right.$（t为参数），
代入x²+3y²=3化简得：$2{t^2}-\sqrt{2}t-2=0$，得t₁t₂=-1，
∴|MA|•|MB|=|t₁t₂|=1----------------（10分）

点评 本题考查直线与椭圆的方程以及极坐标方程的应用，考查点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．