Question

14．已知某厂每天的固定成本是20000元，每天最大规模的产品量是360件．每生产一件产品，成本增加100元，生产x件产品的收入函数是R（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}$+400x，记L（x），P（x）分别为每天的生产x件产品的利润和平均利润（平均利润=$\frac{总利润}{总产量}$）
（1）每天生产量x为多少时，利润L（x）有最大值，并求出最大值；
（2）每天生产量x为多少时，平均利润P（x）有最大值，并求出最大值；
（3）由于经济危机，该厂进行了裁员导致该厂每天生产的最大规模的产品量降为160件，那么每天生产量x为多少时，平均利润P（x）有最大值，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）利用利润L（x）等于收益减去成本列出函数的关系式．利用二次函数求出最大值；
（2）利用平均利润=$\frac{总利润}{总产量}$，利用函数的单调性求解函数的最值．
（3）利用（2）通过函数的单调性直接求解结果即可．

解答 解：（1）依题意得利润L（x）=-$\frac{1}{2}{x}^{2}+300x-20000$，x∈（0，360]
即：L（x）=$-\frac{1}{2}（{x-300）}^{2}+25000$
∵x∈（0，360]，∴当x=300时，L（x）有最大值为25000．
（2）依题意得$P（x）=\frac{{-\frac{1}{2}{x^2}+300x-20000}}{x}=-\frac{1}{2}（x+\frac{40000}{x}）+300，x∈（0，360]$
令$u（x）=x+\frac{40000}{x}$，设$0＜{x_1}＜{x_2}≤360，u（{x_1}）-u（{x_2}）=\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}{x_2}-40000）}}{{{x_1}{x_2}}}$．
可知，当0＜x₁＜x₂≤200，u（x₁）-u（x₂）＞0，即u（x）在（0，200]时单调递减
当200＜x₁＜x₂≤360，u（x₁）-u（x₂）＜0，即u（x）在[200，360]时单调递增．
所以P（x）在（0，200]时单调递增，在[200，360]时单调递减．
所以当x=200时，P（x）有最大值为100元；
（3）由（2）得P（x）在x∈（0，160]时单调递增，当x=160时，P（x）有最大值为95元
答：（1）当产量为300件时，L（x）有最大值25000元；（2）当产P（x）量为200时，P（x）有最大值为100元，若该最大产量为160件时，则当产量为160时，P（x）有最大值为95元．

点评 本题考查实际问题的解决方法，二次函数以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．