Question

9．将圆x²+y²=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ-2=0．
（1）写出C的参数方程和直线l的直角坐标方程．
（2）设直线l与曲线C的交点为P₁，P₂，求过线段P₁P₂的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

Answer 1

分析 （1）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，$\frac{y}{2}$）在圆x²+y²=1上，求出C的方程，化为参数方程．再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得直线l的直角坐标方程
（2）解方程组求得P₁、P₂的坐标，可得线段P₁P₂的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为$\frac{1}{2}$，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程．

解答 解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，$\frac{y}{2}$）在圆x²+y²=1上，
∴x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，即曲线C的方程为 x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，化为参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$ （0≤θ＜2π，θ为参数）．
再x=ρcosα、y=ρsinα 可得直线l的直角坐标方程为2x+y-2=0；
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2=0}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，可得 P₁（1，0）、P₂（0，2），
则线段P₁P₂的中点坐标为（$\frac{1}{2}$，1），
再根据与l垂直的直线的斜率为$\frac{1}{2}$，故所求的直线的方程为y-1=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$），即x-2y+$\frac{3}{2}$=0．
再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα-2ρsinα+$\frac{3}{2}$=0，
即 ρ=$\frac{3}{4sinα-2cosα}$．

点评 本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题．