Question

14．已知${（{x-\sqrt{3}}）^{2017}}={a_0}{x^{2017}}+{a_1}{x^{2016}}+…+{a_{2016}}x+{a_{2017}}$，则${（{{a_0}+{a_2}+…+{a_{2016}}}）^2}-{（{{a_1}+{a_3}+…+{a_{2017}}}）^2}$的值为2²⁰¹⁷．

Answer 1

分析 分别令x=1、x=-1，求得 a₀+a₂+a₄+…+a₂₀₁₆ 和a₁+a₃+a₇+…+a₂₀₁₇ 的值，再利用平方差公式求得${（{{a_0}+{a_2}+…+{a_{2016}}}）^2}-{（{{a_1}+{a_3}+…+{a_{2017}}}）^2}$的值．

解答 解：已知${（{x-\sqrt{3}}）^{2017}}={a_0}{x^{2017}}+{a_1}{x^{2016}}+…+{a_{2016}}x+{a_{2017}}$，
令x=1 可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₆+a₂₀₁₇=${（1-\sqrt{3}）}^{2017}$ ①，
x=-1可得a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₂₀₁₆-a₂₀₁₇=${（-1-\sqrt{3}）}^{2017}$ ②，
则${（{{a_0}+{a_2}+…+{a_{2016}}}）^2}-{（{{a_1}+{a_3}+…+{a_{2017}}}）^2}$=[（ a₀+a₂+a₄+…+a₂₀₁₆ ）+（a₁+a₃+a₇+…+a₂₀₁₇ ）]
•[（a₀+a₂+a₄+…+a₂₀₁₆ ）-（ a₁+a₃+a₇+…+a₂₀₁₇ ）]
=${（1-\sqrt{3}）}^{2017}$•${（-1-\sqrt{3}）}^{2017}$=${（-\sqrt{3}+1）}^{2017}$•${（-\sqrt{3}-1）}^{2017}$=（3-1）²⁰¹⁷=2²⁰¹⁷，
故答案为：2²⁰¹⁷．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．