Question

2．已知在边长为4的等边△ABC（如图1所示）中，MN∥BC，E为BC的中点，连接AE交MN于点F，现将△AMN沿MN折起，使得平面AMN⊥平面MNCB（如图2所示）．
（1）求证：平面ABC⊥平面AEF；
（2）若S_BCNM=3S_△AMN，求直线AB与平面ANC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AE⊥BC，AF⊥MN，MN⊥EF，从而MN⊥平面AEF，进而BC⊥平面AEF，由此能证明平面ABC⊥平面AEF．
（2）由S_{四边形BCNM}=3S_△AMN，得${S}_{△AMN}=\frac{1}{4}{S}_{△ADC}$，以F为原点，FE，FN，FA分别为x，y，z轴，建立空间直角系，利用向量法能求出直线AB与平面ANC所成角的正弦值．

解答 证明：（1）∵△ABC是等边三角形，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
∵MN∥BC，∴AF⊥MN，MN⊥EF，
又AF∩FE=F，∴MN⊥平面AEF，
∵BC∥MN，∴BC⊥平面AEF，
∵BC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面AEF．
解：（2）由S_{四边形BCNM}=3S_△AMN，得${S}_{△AMN}=\frac{1}{4}{S}_{△ADC}$，
∵△ABC∽△AMN，且MN∥BC，
∴（$\frac{MN}{BC}$）²=$\frac{1}{4}$，∴MN=$\frac{1}{2}BC=2$，
以F为原点，FE，FN，FA分别为x，y，z轴，建立空间直角系，
则F（0，0，0），A（0，0，$\sqrt{3}$），B（$\sqrt{3}，-2，0$），N（0，1，0），C（$\sqrt{3}，2，0$），
$\overrightarrow{AN}$=（0，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}，2，-\sqrt{3}$），
设平面ANC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{n}=y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}=\sqrt{3}x+2y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，$\sqrt{3}$，1），
$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{3}，-2，-\sqrt{3}$），
设直线AB与平面ANC所成的角为α，
则sinα=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，
∴直线AB与平面ANC所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查等价转化思想、数形结合思想，考查空间想象能力，是中档题．