Question

7．已知点C（t，$\frac{t}{2}$）（t∈R，t≠0）为圆心，且过原点O的圆与x轴交与点A，与y轴交与点B．
（Ⅰ）求证：△AOB的面积为定值；
（Ⅱ）设直线y=-2x+4与圆C交与点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知A（2t，0），B（0，$\frac{4}{t}$），进而表示出面积即可得到答案．
（Ⅱ）由OM=ON，CM=CN可得OC垂直平分线段MN，根据题意得到直线OC的方程是y=$\frac{1}{2}$x，所以t=2或t=-2，再分别验证t的数值是否正确，进而得到答案．

解答 解：（Ⅰ）证明：由圆C过原点O，且丨OC丨²=t²+$\frac{4}{{t}^{2}}$．
∴圆C的方程是（x-t）²+（y-$\frac{t}{2}$）²=t²+$\frac{4}{{t}^{2}}$．
令x=0，得y₁=0，y₂=$\frac{4}{t}$；令y=0，得x₁=0，x₂=2t．
∴△AOB的面积为定值S，S=$\frac{1}{2}$丨OA丨丨OB丨=$\frac{1}{2}$丨$\frac{4}{t}$丨丨2t丨=4，
△AOB的面积为定值4；
（Ⅱ）∵丨OM丨=丨ON丨，丨CM丨=丨CN丨，
∴OC垂直平分线段MN．
∵k_MN=-2，k_OC=$\frac{1}{2}$，
∴直线OC的方程是y=$\frac{1}{2}$x．
又因为圆心C（t，$\frac{2}{t}$），
∴$\frac{2}{t}$=$\frac{1}{2}$t，解得：t=2或t=-2．
①当t=2时，圆心C的坐标为（2，1），丨OC丨=$\sqrt{5}$，
此时C到直线y=-2x+4的距离d=$\frac{1}{\sqrt{5}}$＜$\sqrt{5}$，圆C与直线y=-2x+4相交于两点．
②当t=-2时，圆心C的坐标为（-2，-1），丨OC丨=$\sqrt{5}$，
此时C到直线y=-2x+4的距离d=$\frac{9}{\sqrt{5}}$＞$\sqrt{5}$，圆C与直线y=-2x+4不相交，
∴t=-2不符合题意舍去．
∴圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5．

点评 本题主要考查圆与直线的方程，以及直线与圆的位置关系，并且熟练掌握运用点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系，属于中档题．