Question

13．求下列函数的单调区间：
（1）y=1-sinx
（2）y=sin$\frac{x}{2}$
（3）y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）
（4）y=1+sin（$\frac{π}{6}$-$\frac{1}{2}$x）

Answer 1

分析 根据正弦函数t=sinx的单调增和单调减区间，求出对应的正弦型函数的单调性与单调区间即可．

解答 解：（1）正弦函数t=sinx的单调增区间是[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z；
单调减区间是[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z；
∴函数y=1-sinx的单调减区间是[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z；
单调增区间是[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z；
（2）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{x}{2}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z；
解得-π+4kπ≤x≤π+4kπ，k∈Z；
∴y=sin$\frac{x}{2}$的单调增区间是[-π+4kπ，π+4kπ]，k∈Z；
同理，函数y的单调减区间是[π+4kπ，3π+4kπ]，k∈Z；
（3）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z；
解得-$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{12}$+kπ，k∈Z；
∴y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的单调增区间是[-$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{5π}{12}$+kπ]，k∈Z；
同理，函数y的单调减区间是[$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{11π}{12}$+kπ]，k∈Z；
（4）y=1+sin（$\frac{π}{6}$-$\frac{1}{2}$x）=1-sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z；
解得-$\frac{2π}{3}$+4kπ≤x≤$\frac{4π}{3}$+4kπ，k∈Z；
∴y=1+sin（$\frac{π}{6}$-$\frac{1}{2}$x）的单调减区间是[-$\frac{2π}{3}$+4kπ，$\frac{4π}{3}$+4kπ]，k∈Z；
同理，函数y的单调增区间是[$\frac{4π}{3}$+4kπ，$\frac{10π}{3}$+4kπ]，k∈Z．

点评 本题考查了利用正弦函数的单调性求对应正弦型函数的单调性与单调区间的应用问题，是基础题．