Question

3．已知函数f（x）=log₂（m+$\frac{m-1}{x-1}$）（m∈R，且m＞0）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）在（4，+∞）上单调递增，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对数函数要有意义，必须真数大于0，即m+$\frac{m-1}{x-1}$＞0，这是一个含有参数的不等式，故对m分情况进行讨论；
（2）根据复合函数单调性的判断法则，因为y=log₂u是增函数，要使得若函数f（x）在（4，+∞）上单调递增，则函数u=m+$\frac{m-1}{x-1}$在（4，+∞）上单调递增且恒正，据些找到m满足的不等式，解不等式即得m的范围．

解答 解：（1）由m+$\frac{m-1}{x-1}$＞0，（x-1）（mx-1）＞0，
∵m＞0，
∴（x-1）（x-$\frac{1}{m}$）＞0，
若$\frac{1}{m}$＞1，即0＜m＜1时，x∈（-∞，1）∪（$\frac{1}{m}$，+∞）；
若$\frac{1}{m}$=1，即m=1时，x∈（-∞，1）∪（1，+∞）；
若$\frac{1}{m}$＜1，即m＞1时，x∈（-∞，$\frac{1}{m}$）∪（1，+∞）．
（2）若函数f（x）在（4，+∞）上单调递增，则函数g（x）=m+$\frac{m-1}{x-1}$在（4，+∞）上单调递增且恒正．
所以$\left\{\begin{array}{l}\frac{4m-1}{3}≥0\\ 1-m＞0\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1}{4}≤m＜1$．

点评 本题考查的知识点是函数的定义域及单调性，不等关系，是函数与不等式的简单综合应用，难度中档．