Question

14．已知双曲线T：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，过点B（-2，0）的直线交双曲线T于点A（点A不为双曲线顶点），若AB中点Q在直线y=x上，点P为双曲线T上异于A，B的任意一点且不为双曲线的顶点，直线AP，BP分别交直线y=x于M，N两点，则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的值为-$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 求出A的坐标，设点P（x₀，y₀）为曲线上任一点，得到直线AP的方程，直线BP的方程，可得M，N的坐标，由此即可得出结论．

解答 解：∵AB中点Q在直线y=x上，B（-2，0），
∴A（$\frac{10}{3}$，$\frac{4}{3}$）
设点P（x₀，y₀）为曲线上任一点，
则直线AP的方程是y-$\frac{4}{3}$=$\frac{{y}_{0}-\frac{4}{3}}{{x}_{0}-\frac{10}{3}}$（x-$\frac{10}{3}$），
与直线y=x联立得x_M=y_M=$\frac{10{y}_{0}-4{x}_{0}}{3{y}_{0}-3{x}_{0}+6}$，
同理得：直线BP的方程是y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$（x+2），
与直线y=x联立得x_N=y_N=$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-{y}_{0}+2}$，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x_Mx_N+y_My_N=2×$\frac{10{y}_{0}-4{x}_{0}}{3{y}_{0}-3{x}_{0}+6}$×$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-{y}_{0}+2}$=-$\frac{8}{3}$．
故答案为：-$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查直线方程的求法，考查向量的数量积，解题时要认真审题，注意中点坐标公式的合理运用．