Question

12．设关于x、y的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1≥0}\\{x-1≤0}\\{ax-y+1≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域内存在点P（x₀，y₀），满足2x₀+y₀=4，则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-2）∪[1，+∞）
• B． （-∞，-2）
• C． （-2，1]
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P（x₀，y₀）满足x₀-2y₀=2，则平面区域内必存在一个点在直线x-2y=2的下方，由图象可得m的取值范围．

解答 解：作出不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为（m，-m），
直线ax-y+1=0过定点B（0，1），
则y=ax+1，由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=ax+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=a+1}\end{array}\right.$，即交点坐标为（1，a+1），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{2x+y=4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即F（1，2）
若a=0，此时对应的直线为BC，此时C（1，a+1），
不等式组对应的区域为△BCE，由图象知，不存在点P（x₀，y₀），满足2x₀+y₀=4，
若a＞0，此时对应的直线为BA，此时A（1，a+1），
不等式组对应的区域为△ABE，由图象知，若存在点P（x₀，y₀），满足2x₀+y₀=4，
则点F（1，2）必在直线y=ax+1的下方或在直线上，
即满足不等式ax-y+1≥0，
即a-2+1≥0，即a≥1，
若a＜0，此时对应的直线为BD，此时不等式组对应的区域为△BCD，
由图象知，若存在点P（x₀，y₀），满足2x₀+y₀=4，
则直线BD的斜率k=a小于直线2x+y=4的斜率-2，
即a＜-2，
综上a＜-2或a≥1，
故选：A

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合以及分类讨论是解决本题的关键，综合性较强．有一定的难度．