Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin²A+sin²C-sin²B=sinAsinC，
（1）求角B的大小；        
（2）若c=2a，判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）根据正弦定理化简题中的等式，得a²+c²-b²=ac，再由余弦定理算出cosB=

1

2

，结合B为三角形的内角，可得角B的大小．
（2）由c=2a利用正弦定理可得sinC=2sinA，将C=

2π

3

-A代入并利用两角差的正弦公式，算出sinA=

3

3

cosA，可得tanA=

3

3

，得A=

π

6

，利用三角形内角和算出C为直角，从而得到△ABC为直角三角形．

解答：解：（1）∵△ABC中，sin²A+sin²C-sin²B=sinAsinC，
∴根据正弦定理，得a²+c²-b²=ac，
因此，cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，
结合B∈（0，π）可得B=

π

3

．
（2）∵c=2a，由正弦定理得sinC=2sinA，
又∵A+C=π-B=

2π

3

，
得C=

2π

3

-A，
∴sin(

2π

3

-A)=2sinA，
即

3

2

cosA+

1

2

sinA=2sinA
整理得sinA=

3

3

cosA，
可得tanA=

sinA

cosA

=

3

3

，
结合A∈（0，π）可得A=

π

6

∴C=

2π

3

-A=

π

2

，
得△ABC为直角三角形．

点评：本题着重考查了利用正余弦定理解三角形、同角三角函数的基本关系、三角形内角和定理与两角和与差的三角函数公式等知识，属于中档题．