Question

11．函数f（x）在R上可导，下列说法正确的是（　　）

• A． 若f′（x）+f（x）＞0，对任意x∈R恒成立，则有ef（2）＜f（1）
• B． 若f′（x）-f（x）＜0，对任意x∈R恒成立，则有e²f（-1）＜f（1）
• C． 若f′（x）＞1对任意x∈R恒成立，则有f（2）＞f（1）
• D． 若f′（x）＜1对任意x∈R恒成立，则有f（2）＞f（1）

Answer 1

分析 对于A，构造辅助函数，g（x）=e^xf（x），求导，g′（x）=e^x（f（x）+f′（x））＞0恒成立，根据函数的单调性即可求得ef（2）＞f（1），A错误；
对于B，构造辅助函数，g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，求导，g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，由函数的单调性可知，$\frac{f（-1）}{{e}^{-1}}$＞$\frac{f（1）}{e}$，即e²f（-1）＞f（1），故B错误，
对于C，由f′（x）＞1，f（x）在R上单调递增，f（2）＞f（1）故C正确，
对于D，由f′（x）＜1，不能确定函数的单调性，即无法判断f（2）＞f（1），即D错误．

解答 解：对A，若f（x）+f′（x）＞0对x∈R恒成立，设g（x）=e^xf（x），
则g′（x）=e^x（f（x）+f′（x））＞0恒成立，
故g（x）在R上单调递增，
∴e²f（2）＞ef（1），即ef（2）＞f（1），故A错误，
对于B，f′（x）-f（x）＜0，对x∈R恒成立，设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
则g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0恒成立，
故g（x）在R上单调递减，
∴$\frac{f（-1）}{{e}^{-1}}$＞$\frac{f（1）}{e}$，即e²f（-1）＞f（1），故B错误，
对于C，若f′（x）＞1对任意x∈R恒成立，
f（x）在R上单调递增，
则有f（2）＞f（1），故C正确，
对于D，f′（x）＜1对任意x∈R恒成立，设g（x）=f（x）-x，
求导g′（x）=f′（x）-1，
∴g′（x）＜0，
g（x）在R上单调递减，
g（2）＜g（1），
即f（2）-2＜f（1）-1，
f（2）＜f（1）+1，
不能确定：f（2）＞f（1），故D错误，
故答案选：C．

点评 本题考查了导数和函数的单调性的关系，考查利用构造法求函数的单调性，考查转化思想，属于中档题．