Question

14．已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$sin²ωx-$\sqrt{3}$（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）f（x）的图象是由y=sinx的图象通过怎样平移而得到的；
（3）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2ωx-$\frac{π}{3}$），利用周期公式可求ω，
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，即可解得函数f（x）的单调增区间．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
（3）由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得g（x）的解析式，再由y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，可得方程sin2x=-$\frac{1}{2}$至少有10个解，则b的最小值4×π+$\frac{11π}{12}$，计算可得结果．

解答 解：（1）由题意得f（x）=2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$sin²ωx-$\sqrt{3}$=sin2ωx-$\sqrt{3}$cos2ωx=2sin（2ωx-$\frac{π}{3}$），
由最小正周期为π，得ω=1，
所以$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，整理得$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}，k∈Z$，
所以函数f（x）的单调增区间是$[{kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}}]，k∈Z$．
（2）将y=sinx的图象先向右平移$\frac{π}{3}$个单位，得到$y=sin（x-\frac{π}{3}）$的图象，
再把各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得$y=sin（2x-\frac{π}{3}）$，
最后把各点的纵坐标扩大到原来的2倍，横坐标不变得$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$的图象．
（或者将y=sinx的图象各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到y=sin2x的图象，
再把所得的图象先向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到$y=sin（2x-\frac{π}{3}）$的图象，
最后把各点的纵坐标扩大到原来的2倍，横坐标不变得$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{3}）$的图象）．
（3）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移1个单位，得到y=2sin2x+1的图象，
所以g（x）=2sin2x+1，
令g（x）=0，得$x=kπ+\frac{7π}{12}$或$x=kπ+\frac{11π}{12}（k∈Z）$，
所以在[0，π]上恰好有两个零点，
若y=g（x）在[0，b]上有10个零点，
则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为4π+$\frac{11π}{12}$=$\frac{59π}{12}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，复合三角函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的特征，属于中档题．