Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点．若PA=AD=3，CD=．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；
（Ⅱ） 求点F到平面PCE的距离；
（Ⅲ）求直线PC平面PCE所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：设G为AC的中点，连接EG，FG
∵FG为△PCD的中位线，∴FG∥CD∥AE
又∵E为AB的中点，∴AE=FG
∴AEGF为平行四边形，∴AF∥EG
∵AF?平面PCE，EG?平面PCE，∴AF∥平面PCE；
（Ⅱ）解：设F到平面PEC的距离为h
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥EA
又∵ABCD为矩形，∴EA⊥AD
∵PA∩AD=A，∴EA⊥平面PAD，∴AEGF为矩形
∵△PAD为等腰直角三角形，∴PF是棱锥P-AEGF的高
∴四棱锥P-AEGF的体积=•PF•FG•AF==
∵PE=EC=，PC=2，∴由余弦定理可得cos∠PEC=-，
∴sin∠PEC=
∴S_△PEC==；
∵四棱锥P-AEGF的体积=三棱锥F-PEG体积的2倍=三棱锥F-PEC体积
∴•h=，∴h=
∴F点到平面PEC的距离为；
（Ⅲ）解：在平面PCD内作FH⊥PC，则FH⊥平面PCE
∴∠FCH是FC与平面PCE所成的角
在△FCH中，FH=，FC=，∴sin∠FCH=
∴直线FC与平面PCE所成角的正弦值为
分析：（Ⅰ）利用三角形中位线的性质，得到线线平行，从而得到四边形是一个平行四边形，即可得到线线平行，根据线面平行的判断得到结论；
（Ⅱ）利用四棱锥P-AEGF的体积=三棱锥F-PEG体积的2倍=三棱锥F-PEC体积，即可求点F到平面PCE的距离；
（Ⅲ）在平面PCD内作FH⊥PC，则FH⊥平面PCE，得到∠FCH是FC与平面PCE所成的角，在这个可解的三角形中，求出角的正弦值．
点评：本题考查空间的点线面之间的位置关系和二面角的求法，考查点面距离的计算，属于中档题．