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    矩形的中心在坐标原点，边与轴平行，=8，=6.分别是矩形四条边的中点，是线段的四等分点,是线段的四等分点.设直线与,与,与的交点依次为.

    （1）求以为长轴，以为短轴的椭圆Q的方程；

    （2）根据条件可判定点都在（1）中的椭圆Q上，请以点L为例，给出证明（即证明点L在椭圆Q上）.

    （3）设线段的（等分点从左向右依次为，线段的等分点从上向下依次为，那么直线与哪条直线的交点一定在椭圆Q上？（写出结果即可，此问不要求证明）

    【答案】

    （1）；（2）详见解析；（3）

    【解析】

    试题分析：根据长轴长,短轴长,可求出椭圆的方程；根据点的坐标可写出直线的方程，同理也可写出直线的方程，再求出它们的交点的坐标，验证在椭圆上即可得证；类比（2）的结论，即可得到直线与直线的交点一定在椭圆Q上．

    试题解析：

    根据题意可知，椭圆的焦点在轴上，可设其标准方程为，

    因为长轴长,短轴长，所以，

    所以所求的椭圆的标准方程为：．

    由题意知，

    可得直线的方程为，直线的方程为，

    联立可解得其交点，将的坐标代入椭圆方程成立，即点在椭圆上得证．

    另法：设直线、交点，

    由三点共线得：                  ①

    由三点共线得：             ②

    ①②相乘，整理可得，即

    所以L在椭圆上．

    （3）类比（2）的结论，即可得到直线与直线的交点一定在椭圆Q上．

    考点：本题考查了直线的方程，椭圆的方程的求解方法，以及直线与圆锥曲线的位置关系．

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为2
    		2
    ，离心率e=
    		2
    2
    ，过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q两点．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；
    （3）若以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系xOy中，设椭圆T的中心在坐标原点，一条准线方程为y=2，且经过点（1，0）．
    （1）求椭圆T的方程；
    （2）设四边形ABCD是矩形，且四条边都与椭圆T相切．
    ①求证：满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上；
    ②求矩形ABCD面积S的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：2015届安徽池州第一中学高二上学期期中考试理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    矩形的中心在坐标原点，边与轴平行，=8，=6.分别是矩形四条边的中点，是线段的四等分点,是线段的四等分点.设直线与,与,与的交点依次为.

    （1）以为长轴，以为短轴的椭圆Q的方程；

    （2）根据条件可判定点都在（1）中的椭圆Q上，请以点L为例，给出证明（即证明点L在椭圆Q上）.

    （3）设线段的（等分点从左向右依次为，线段的等分点从上向下依次为，那么直线与哪条直线的交点一定在椭圆Q上？（写出结果即可，此问不要求证明）

     

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    科目：高中数学 来源：2014届河南灵宝第三高级中学高二上学期第三次质量检测理数学（解析版） 题型：解答题

    （本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为2，离心率e＝，过右焦点F的直线l交椭圆于P、Q两点．

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）若OP、OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程．

     

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