Question

20．已知函数f（x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）（a＞0且a≠1）
（1）试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若m，n∈（-1，1），求证：f（m）+f（n）=f（$\frac{m+n}{1+mn}$）．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）的定义域为（-1，1），然后求f（-x），比较f（x）便可得出该函数的奇偶性；
（2）分别求出f（m）+f（n），$f（\frac{m+n}{1+mn}）$，并进行对数的运算，便可证出f（m）+f（n）=$f（\frac{m+n}{1+mn}）$．

解答 解：（1）解$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{1+x＞0}\end{array}\right.$得，-1＜x＜1；
f（-x）=log_a（1+x）-log_a（1-x）=-f（x）；
∴f（x）为奇函数；
（2）证明：m，n∈（-1，1）；
∴f（m）+f（n）=log_a（1-m）-log_a（1+m）+log_a（1-n）-log_a（1+n）=$lo{g}_{a}\frac{1+mn-m-n}{1+mn+m+n}$；
$f（\frac{m+n}{1+mn}）=lo{g}_{a}（1-\frac{m+n}{1+mn}）-lo{g}_{a}（1+\frac{m+n}{1+mn}）$=$lo{g}_{a}\frac{1+mn-m-n}{1+mn+m+n}$；
∴$f（m）+f（n）=f（\frac{m+n}{1+mn}）$．

点评 考查函数奇偶性的定义及其判断方法，已知函数求值，以及对数的运算．