Question

15．已知二项式（2x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ（n∈N⁺）的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，按要求完成以下问题：
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求展开式中含x³的项；
（Ⅲ）计算式子C${\;}_{6}^{0}{2}^{6}$+C${\;}_{6}^{1}{2}^{5}$+C${\;}_{6}^{2}{2}^{4}$+C${\;}_{6}^{3}$2³+C${\;}_{6}^{4}{2}^{2}$+C${\;}_{6}^{5}{2}^{1}$+C${\;}_{6}^{6}{2}^{0}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意，C_n¹：C_n²=2：5，即可求n的值；
（Ⅱ）写出通项，令x的指数为3，即可求展开式中含x³的项；
（Ⅲ）令x=1得C${\;}_{6}^{0}{2}^{6}$+C${\;}_{6}^{1}{2}^{5}$+C${\;}_{6}^{2}{2}^{4}$+C${\;}_{6}^{3}$2³+C${\;}_{6}^{4}{2}^{2}$+C${\;}_{6}^{5}{2}^{1}$+C${\;}_{6}^{6}{2}^{0}$．

解答 解：（Ⅰ）依题意，C_n¹：C_n²=2：5，即5n=n（n-1），解得n=6；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知n=6．
∴T_r+1=C₆^r（2x）^6-r$（\frac{1}{\sqrt{x}}）^{r}$=C₆^r2^6-r${x}^{6-\frac{3}{2}r}$
由6-$\frac{3}{2}$r=3，得r=2，∴展开式中含x³的项C₆²2^6-2x³=240x³．
（Ⅲ）令x=1得C${\;}_{6}^{0}{2}^{6}$+C${\;}_{6}^{1}{2}^{5}$+C${\;}_{6}^{2}{2}^{4}$+C${\;}_{6}^{3}$2³+C${\;}_{6}^{4}{2}^{2}$+C${\;}_{6}^{5}{2}^{1}$+C${\;}_{6}^{6}{2}^{0}$=3⁶．

点评 本题主要考查二项式定理的项与系数，同时还考查赋值法求值，体现一般与特殊的数学思想．