Question

19．（1）己知f（x）=（x²-2ax）e^x在[-1，1]上为单调函数，求正数a的取值范围．
（2）已知函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+2x存在单调减区间，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先由f′（x）＞0，再根据函数f（x）在[-1，1]上为单调函数，将原问题转化为x²+2（1-a）x-2a≤0在[-1，1]恒成立问题，列出关于a的不等关系解之即得；
（2）利用导数进行理解，即f'（x）＜0在（0，+∞）上有解．可得-ax²+2x+1＜0在正数范围内至少有一个解，运用参数分离和二次喊话说的值域，不难得到a的取值范围．

解答 解：（1）∵f'（x）=e^x[x²+2（1-a）x-2a]，①
若f（x）在[-1，1]递减，则f'（x）≤0在[-1，1]恒成立，
∴只需x²+2（1-a）x-2a≤0在[-1，1]恒成立，
即2a（x+1）≥x²+2x在[-1，1]恒成立，
x=-1时①式成立；x∈（-1，1]时，需满足a≥$\frac{{x}^{2}+2x}{2（x+1）}$，
令g（x）=$\frac{{x}^{2}+2x}{2（x+1）}$，
则g′（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+2}{2（x+1）^{2}}$＞0在x∈（-1，1]恒成立，
∴g（x）在（-1，1]递增，∴g（x）_max=g（1）=$\frac{3}{4}$，∴a≥$\frac{3}{4}$；
若f（x）在[-1，1]递增，则f'（x）≥0在[-1，1]恒成立，
但f'（-1）=-1，∴f（x）在[-1，1]不递增；
综上a≥$\frac{3}{4}$；
（2）解：对函数求导数，得f′（x）=$\frac{1+2x-a{x}^{2}}{x}$，（x＞0）
依题意，得f′（x）＜0在（0，+∞）上有解．
即-ax²+2x+1＜0在x＞0时有解．
即为a＞$\frac{2x+1}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$）²+$\frac{2}{x}$，
由x＞0可得（$\frac{1}{x}$）²+$\frac{2}{x}$=（$\frac{1}{x}$+1）²-1＞0，
则a＞0．

点评 本题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．