Question

【题目】某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为．

（1）若，足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到）；

（2）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域内成功拦截机器人甲？

Answer 1

【答案】（1）按照与夹角为的向量方向释放机器人乙；（2）米

【解析】

（1）利用正弦定理,即可求解;

（2）以所在直线为轴,中垂线为轴,建平面直角坐标系,求出的轨迹方程,即可得出结论．

（1）中,,,

由正弦定理,得：,

所以,所以.

所以应在矩形区域内,按照与夹角为

的向量方向释放机器人乙,才能挑战成功.

（2）以所在直线为轴,中垂线为轴，

建平面直角坐标系,设由题意，

知,所以,

所以

即点的轨迹是以为圆心，6为半

径的上半圆在矩形区域内的部分.

所以当米时,能确保无论的值为多少,

总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人

乙在矩形区域内成功拦截机器人甲.