Question

【题目】已知椭圆的一个焦点为，离心率，左，右顶点分别为A，B，经过点F的直线与椭圆交于C，D两点（与A，B不重合).

(1)求椭圆M的方程；

(2)记与的面积分别为和，求|的最大值.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

（1）由焦点F坐标可求c值，根据离心率e及a，b，c的平方关系可求得a值；

（2）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|＝0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为x＝my﹣1，与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用m表示与的面积，再用基本不等式即可求得其最大值．

（1）设椭圆M的半焦距为c，即c＝1，

又离心率e，即

∴a＝2，b2＝a2﹣c2＝3

∴椭圆M的方程为.

（2）设直线l的方程为x＝my﹣1，C（x1，y2），D（x2，y2），联立方程组

，消去x得，（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0

∴y1+y2，y1y20

S1＝S△ABC|AB||y1|，S2＝S△ABD|AB||y2|，且y1，y2异号

∴|S1﹣S2||AB||y1+y2|4×|y1+y2|

∵3|m|4，

当且仅当3|m|，即m＝±时，等号成立

∴|S1﹣S2|的最大值为.