Question

【题目】对于数列，若对任意的，也是数列中的项，则称数列为“数列”，已知数列满足：对任意的，均有，其中表示数列的前项和.

（1）求证：数列为等差数列；

（2）若数列为“数列”，，且，求的所有可能值；

（3）若对任意的，也是数列中的项，求证：数列为“数列”.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）、10、12、16；（3）证明见解析.

【解析】

（1）已知与关系,结合等差数列的定义,即可证明;

（2）根据“数列”的定义,可推出公差的所有可能值，即可求出的所有可能值;

（3）由已知任意的,也是数列中的项,得到与公差的关系,从而求得的通项,即可得到证明.

（1）由,得,

,

即,,

两式相减得,

数列为等差数列;

（2）设的公差为,

,

由于数列为“数列”，是的项

,

，

的可能值为,

的所有可能值;

（3）设,

,也是数列中的项,

设是中的第项，则

，

是中的第项，

数列为“数列”.