Question

【题目】设椭圆的右顶点为A，下顶点为B，过A、O、B（O为坐标原点）三点的圆的圆心坐标为．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN=60°，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据直径所对圆周角为直角可知为直径，根据圆心坐标求得的值进而求得椭圆的方程.（2）由（1）求得点的坐标，设出直线的方程，同时得到直线的方程.联立直线的方程和椭圆方程，解出点的坐标，由此求得的表达式.通过直线的方程求得点的坐标，进而求得的表达式，利用得到，由此列方程解得的值，从而求得点的坐标.

解：（1）依题意知,,

∵△AOB为直角三角形，∴过A、O、B三点的圆的圆心为斜边AB的中点，

∴，即，

∴椭圆的方程为.

（2）由（1）知，依题意知直线BN的斜率存在且小于0，

设直线BN的方程为，

则直线BM的方程为：，

由消去y得，

解得：，,

∴

∴ ,

在中，令得，即

∴，

在Rt△MBN中，∵∠BMN=60°，∴,

即，整理得，

解得，∵，∴，

∴点M的坐标为.