【题目】如图,在四棱柱中,侧棱
底面
,
,
,
,
,且点
和
分别为
和
的中点.
(1)求证: 平面
;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)以A为原点建立空间直角坐标系,利用向量法能证明MN∥平面ABCD.
(Ⅱ)求出两个平面的法向量,可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小,再求正弦值即可.
试题解析:
(1)证明:如图,以A为坐标原点,以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系,
则A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,﹣2,0),
A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,﹣2,2),
又∵M、N分别为B1C、D1D的中点,∴M(1,,1),N(1,﹣2,1).
由题可知: =(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量,
=(0,﹣
,0),
∵=0,MN平面ABCD,∴MN∥平面ABCD;
(2)解:由(I)可知: =(1,﹣2,2),
=(2,0,0),
=(0,1,2),
设=(x,y,z)是平面ACD1的法向量,
由,得
,
取z=1,得=(0,1,1),
设=(x,y,z)是平面ACB1的法向量,
由,得
,
取z=1,得=(0,﹣2,1),
∵cos<,
>=
=﹣
,∴sin<
,
>=
=
,
∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为;
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【题目】根据下面的要求,求满足1+2+3+…+n>500的最小的自然数n.
(1)画出执行该问题的程序框图;
(2)以下是解决该问题的一个程序,但有2处错误,请找出错误并予以更正.
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【题目】已知函数f(x)= sin
cos
﹣
sin2
.
(1)求f(x)的最小正周期及f(x)的单调递减区间;
(2)求f(x)在区间[﹣π,0]上的最值.
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【题目】已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为( ,0)
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:y=kx+ 与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且
>2(其中O为原点).求k的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线和定点
,
是此曲线的左、右焦点,以原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求直线的极坐标方程;
(2)经过点且与直线
垂直的直线交此圆锥曲线于
两点,求
的值.
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